رياضيات الثالث متوسط: كثيرات الحدود وفق المنهج السعودي
سنتعرف في هذا المقال على وحيدات الحد، وأبسط العبارات التي تتضمن كثيرات الحدو، وتبسيط العبارات، وعلى تعريف كثيرات الحدود، ثم سنتحدث عن تحديد درجة كثيرات الحدود وتحديد الصورة القياسية لكثيرات الحدود.
أولاً: ماهي وحيدات الحد
تكون وحيدة الحد عدداً أو متغيراً ، أو حاصل ضرب عدد في متغير واحد أو أكثر بأسس صحيحة غير سالبة وتتكون من حد واحد فقط
للتوضيح أكثر: وحيدة الحد قد تكون عدداً ، أو متغيراً مثل س ، ع ، ص ، ن ،…..الخ
أو عدد مضروباً بمتغيراً من الدرجة الأولى أو الثانية أو …. شرط ألاّ يكون الأس عدداً سالباً ، أو جداء عدة متغيرات ببعضها البعض .
متى لاتكون العبارة وحيدة حد:
إن كان أس المتغير عدداً سالباً كالعبارة :
أو إن وجد بالعبارة متغيراً بالمقام كالمثال:
مثال: حدد إذا كانت العبارات الآتية وحيدة حد اكتب ” نعم ” أو ” لا ” وفسّر إجابتك:
أ ) 10
نعم هو وحيدة حد لأنه ثابت فهو وحيدة حد
ب) ف + 24
لا تتضمن هذه العبارة عملية جمع لذا فهي تحتوي على أكثر من حد ، وبالتالي هي ليست وحيدة حد
ج)
نعم هذه العبارة وحيدة حد لأنها تمثل حاصل ضرب المتغير في نفسه
د) ل
نعم وحيدة حد لأن المتغيرات المنفردة وحيدات حد
تحقق من فهمك:
حدد إذا كانت العبارات الآتية وحيدة حد اكتب ” نعم ” أو
” لا ” وفسّر إجابتك:
أ ) – س + 5
العبارة هي ناتج جمع مجموع حدين لذا فهي ليست وحيدة الحد
ب ) 23 أ ب ج
العبارة ناتج جداء عدد بعدة متغيرات ولايوجد عملية جمع بين ذه المتغيرات لذا فهي وحيدة حد
ج )
العبارة عبارة عن وحيدة حد لأن البسط هو جداء متغيرات والمقام عبارة عن عدد ( أي هو ليس متغير )
د) ل
العبارة ليست وحيدة حد لأن المقام يحتوي على متغير
الحل:
21) نعم وحيدة حد لانها عدد
22) نعم وحيدة حد لأنها جداء عدد بمتغير مضروباً في نفسه
23) لا ليست وحيدة حد لأنها عبارة عن مجموع حدين متغير مضافاً إليه عدد إذاً فهي ثنائية حد
24) لا ليست وحيدة حد لأن المقام يحتوي على متغير
25) نعم وحيدة حد لأنها عبارة عن عدد مضروباً بمتغير والمقام يحتوي على عدد ( أي ليس متغيراً)
26) لا ليست وحيدة حد لأنها عبارة عن مجموع حدين إذاً فهي ثنائية حد
تبسيط العبارات:
ضرب القوى:
لضرب قوتين لهما الأساس نفسه نجمع الأسس
ونكتبها بالرموز:
مثال:
قوة القوة:
لاًيجاد قوة القوة نضرب الأسس
ونكتبها بالرموز:
مثال:
قوة حاصل الضرب:
لاًيجاد قوة حاصل الضرب ،نوجد قوة كل عامل
بمعنى آخر نوزع الأس على جميع الحدود
ونكتبها بالرموز:
تبسيط العبارات:
يمكننا دمج الخصائص واستعمالها في تبسيط عبارات تتضمن وحيدات حد
أي أننا نستطيع تطبيق عدة خصائص من الخصائص التي ذكرناها آنفاً لتبسيط عبارات تتضمن وحيدات حد
وذلك بتطبيق الخطوات الآتية:
بأن نكتب العبارة بالشكل:
- أن يظهر كل متغير على صورة أساس مرة واحدة فقط
- لاتتضمن العبارة قوة القوة
- تكون جميع الكسور في أبسط صورة
ماهي كثيرات الحدود:
كثيرة الحدود هي وحيدة حد أو مجموعة وحيدات حد ، تسمى كل وحيدة حد منها حداً في كثيرة الحدود .
وبعض كثيرات الحدود تحمل أسماءً خاصة ، فثنائية الحد هي هي مجموع وحيدتي حد في أبسط شكل ، وثلاثية الحدود هي مجموع ثلاث وحيدات حد في أبسط شكل.
كثيرات الحدود
الحل:
أ) نعم س هي كثرة حدود تصنيفها: وحيدة حد
ب) نعم هي كثيرة حدود ، بجمع -2ص مع +4ص ( لأنها حدود متشابهة أي لها نفس الدرجة) تصبح كثيرة الحدود بالشكل:
إذاً فهي ثلاثية حدود
ج) نعم هي كثيرة حدود من الدرجة الثانية لأنها مجموع وحيدتي حد
د) لا ليست كثيرة حدود ، لأن أس المتغير س سالب لهذا فهي ليست كثيرة حدود
درجة وحيدة الحد:
هي مجموع أسس كل متغيراتها ، ودرجة الثابت غير الصفر تساوي الصفر وليس للصفر درجة
درجة كثيرة الحدود:
هي أكبر درجة لأي حد من حدودها ، ولاًيجاد درجة كثيرة الحدود علينا أولاً إيجاد درجة كل حد فيها.
يمكن تسمية بعض كثيرات الحدود اعتماداً على درجتها ، فتسمى كثيرة الحدود ذات الدرجة صفر ثابتاً ، وذات الدرجة واحد خطية ، وذات الدرجة 2: تربيعية ، وذات الدرجة 3: تكعيبية .
الحل:
أ) نوجد درجة كل حد:
درجة العدد 7 هي صفر ( لأنه عدد ثابت )
درجة س يساوي 1
درجة ص يساوي 5
درجة ع يساوي 1
وبما أن العملية الحسابية بين المتغيرات هي جداء إذاً درجة كثيرة الحدود هي ناتج جمع درجات متغيراتها
ومنه فإن درجتها هي: 7
ب) نوجد درجة كل حد:
الحد الأول 2 م ن درجته ناتج جمع درجات حدوده 0+1+1 = 2
الحد الثاني أيضاً نجمع درجات حدوده : 0 + 1 + 2 = 3
الحد الثالث درجته: 0 + 2 + 2 = 4
الحد الرابع هو عدد ثابت بالتالي درجته = 0
نلاحظ أن أعلى أس هو 4 إذاً فدرجة كثيرة الحدود هي الدرجة الرابعة
كثيرات الحدود بالصورة القياسية:
يمكنك كتابة كثيرة الحدود بأي ترتيب ، ولكن عندما يطلب كتابة كثيرة الحدود ذات المتغير الواحد بالصورة القياسية ، فيجب علينا كتابة الحدود بترتيب تنازلي بحسب درجتها .
وعندما تكتب كثيرة الحدود بالصورة القياسية فإن معامل أول حد فيها يسمى المعامل الرئيس.
