المجموعات، تقاطعها واتحادها لصف التاسع العام ( المنهج الإماراتي )
سنتعلم في هذا الدرس من دروس الرياضيات، كيف نوجد تقاطع مجموعتين، وكيف نوجد اتحاد مجموعتين مع إعطاء أمثلة على ذلك.
تقاطع مجموعتين:
يقصد بتقاطع مجموعتين الموجودة في كلا المجموعتين ، أي العناصر المشتركة فقط.
بصيغة الرموز: إن كان لدينا مجموعتين A ، B فيرمزلتقاطعهما بالرمز:
حيث أنّ عناصر مجموعة التقاطع هي العناصر الموجودة في المجموعتين A و B معاً
على سبيل المثال:
إذا كانت عناصر المجموعة A هي:
{ 15، 14 ، 12 ، A ={ 10
وكانت عناصر المجموعة B هي:
{ B ={ 13،14،15،16،17
والمطلوب: إيجاد تقاطع المجموعتين والتي يرمزلها بالرمز
الحل:
لإيجاد مجموعة عناصر تقاطع المجموعتين ننظر إلى عناصر المجموعة A وإلى عناصر المجموعة B ونحدد العناصر المشتركة بينهما ، فنلاحظ بسهولة أن الأعداد 14، 15 هي أعداد مشتركة في كلا المجموعتين ومنه فإن:
{14 ، 15{=
ملاحظة: قد يستخدم حرف العطف و للتعبير عن تقاطع مجموعتين ، أي أنه عندما يقال A و B فإنه يقصد بذلك مجموعة التقاطع للمجموعتين A و B
إيجاد التقاطعات لثلاثة مجموعات:
لنعطي مثال على ذلك:
يجرى تقويم ثلاثة أدوية تجريبية من حيث السلامة ، ولكل منها آثار جانبية رصدها 1 % على الأقل من الأشخاص الذين جربوا الدواء . وهذه تجربة عمياء ولذا سيرمزإلى الأدوية بالرموز : A ، B ،C وهي تمثل الآثار الجانبية لكل منها.
{غثيان ، تعرق ليلي ، عصبية ، جفاف الفم ،تورم القدمين }= A
{زيادة الوزن ، غثيان ، عصبية ، رؤية مشوشة ، حمى ، صعوبة في النوم}= B
{ جفاف الفم، غثيان ، رؤية مشوشة ، حمى ، فقدان وزن، إكزيما }= C
والمطلوب:
جد كل من المجموعات الآتية:
الحل:
a) لإيجاد عناصر تقاطع المجموعتين A و B ننظر إلى عناصر المجموعة A وإلى عناصر المجموعة B ثمّ نقوم بإيجاد العناصر المشتركة بين هاتين المجموعتين أي الآثار لجانبية المشركة بينهما فنلاحظ أنها الغثيان و العصبية ومنه نكتب:
{عصبية ، غثيان } =
b) لإيجاد عناصر تقاطع المجموعتين B ، C ننظر إلى عناصر المجموعة C وإلى عناصر المجموعة B ثمّ نقوم بإيجاد العناصر المشتركة بين هاتين المجموعتين أي الآثار لجانبية المشركة بينهما فنلاحظ أنها ثلاثة عناصر أو آثار جانبية وهي: الحمى والغثيان والرؤية المشوشة ومنه نكتب:
{ الرؤية المشوشة ، الغثيان ، الحمى} =
c) لإيجاد عناصر تقاطع المجموعات B ، C، A ننظر إلى عناصر كل من المجموعات الثلاثة ثمّ نقوم بإيجاد العناصر المشتركة بينها فنلاحظ أن هناك عنصر مشترك وحيد أو أثر جانبي وحيد وهو الغثيان
المجموعات المنفصلة:
نقول عن مجموعتين أنهما منفصلتان عندما لايكون بينهما عناصر مشتركة ، وبهذه الحالة يكون تقاطعهما هو المجموعة الخالية.
مثال: إذا كان لدينا مجموعتين مجموعة طلاب الصف العاشر ومجموعة طلاب صف الحادي عشر فإن تقاطع المجموعتين هو المجموعة الخالية حيث لايمكن أن يكون هناك طالب مشترك بين المجموعتين.
اتحاد مجموعتين:
يقصد باتحاد مجموعتين مجموعة العناصر الموجودة في المجموعة A أو الموجودة في المجموعة B أو الموجودة في كليهما .
ويرمز لاتحاد مجموعتين بالرمز:
أي حين يطلب تعيين عناصر الاتحاد نكتب جميع العناصر الموجودة في كلا المجموعتين ولكن نكتب العناصر المكررة الموجودة في كلا المجموعتين مرة واحدة فقط ، وسنفهم ذلك من خلال الأمثلة.
مثال:
إذا كانت: { 5 ،10، 15 ، 20} =A و { 5 ، 20 ، 30 ، 45 } = B
والمطلوب: أوجد اتحاد المجموعتين
الحل: لإيجاد المجموعتين نكتب جميع العناصر الموجودة في المجموعتين ولكن لانكرر العناصر المشتركة ،أي أننا لانكتب الأعداد
5 ، 20 إلاّ مرة واحدة فقط ومنه تكون الإجابة:
{ 5 ، 10 ، 15 ، 20 ، 30 ، 45} =
مثال:
بالعودة إلى مثال الأدوية السابق وهو :
يجرى تقويم ثلاثة أدوية تجريبية من حيث السلامة ، ولكل منها آثار جانبية رصدها 1 % على الأقل من الأشخاص الذين جربوا الدواء . وهذه تجربة عمياء ولذا سيرمزإلى الأدوية بالرموز : A ، B ،C وهي تمثل الآثار الجانبية لكل منها.
{غثيان ، تعرق ليلي ، عصبية ، جفاف الفم ،تورم القدمين }= A
{زيادة الوزن ، غثيان ، عصبية ، رؤية مشوشة ، حمى ، صعوبة في النوم}= B
{ جفاف الفم، غثيان ، رؤية مشوشة ، حمى ، فقدان وزن، إكزيما }= C
والمطلوب:
جد كل من المجموعات الآتية:
الحل:
a) لإيجاد اتحاد المجموعتين A و B نكتب جميع الأعراض الجانبية لهاتين المجموعتين مع عدم تكرار الآثار الجانبية المكررة ومنه تكون الإجابة المطلوبة هي:
{غثيان ، تعرق ليلي ، عصبية ، جفاف الفم ،تورم القدمين ، زيادة وزن ، رؤية مشوشة ، حمى ، صعوبة في النوم }=
b) لإيجاد اتحاد المجموعتين B و C نكتب جميع الأعراض الجانبية لهاتين المجموعتين مع عدم تكرار الآثار الجانبية المكررة ومنه
تكون الإجابة المطلوبة هي:
{زيادة الوزن ، غثيان ، عصبية ، رؤية مشوشة ، حمى ، صعوبة في النوم ، جفاف الفم ، فقدان وزن ، اكزيما }=
c) لإيجاد اتحادالمجموعات الثلاثة نكتب جميع الآار الجانبية لكافة المجموعات مع عدم كتابة الآثار المكررة سوى مرة واحدة فقط ومنه تكون الإجابة المطلوبة :
{غثيان ، تعرق ليلي ، عصبية ، جفاف الفم ،تورم القدمين، زيادة الوزن ، رؤية مشوشة ، حمى ، صعوبة في النوم، فقدان وزن، إكزيما }=